Question

一道数列的难题~

已知数列an的前n项和Sn=(n^2+n)*3^n
(1)求lim(n→∞)an/Sn
(2)证明a1/1^2+a2/2^2+a3/3^2........+an/n^2＞3^n
我要详细的步骤，不要告诉我怎么算！好的一定给分~
顺便解释下这个lim(n→∞)是什么？
谢谢了~

Answer 1

我发现数列打起字来好麻烦啊。。。也不知道你看不看的懂
首先lim(n→∞)表示在n趋向无穷大时（如果是x→∞时则是x趋向无穷，包括无穷小无穷大，因为这里n表示正数，所以只有无穷大)，相应后面的式子所得到的值，注意只表示一个数值，而不是一个式子。

一、
an=Sn-Sn-1。。Sn-1应该看的懂吧
lim(n→∞)an/Sn=lim(n→∞)1-Sn-1/Sn
代入Sn的表达式
原式=lim(n→∞)1-{[(n-1)^2+n-1]*3^(n-1)/(n^2+n)*3^n}
化简可得式子为
lim(n→∞)1-[(n-1)/3(n+1)]=1-1/3=2/3

二、
用缩小法
a1/1^2+a2/2^2+a3/3^2........+an/n^2>a1/n^2+a2/n^2+a3/n^2........+an/n^2=Sn/n^2=(n^2+n)*3^n/n^2=(1+1/n)*3^n＞3^n

Answer 2

(1) an=Sn-Sn-1=(n^2+n)*3^n-(n^2-n)*3^(n-1)
=(2n^2+4n)*3^(n-1)
lim an/Sn=lim (2n^2+4n)*3^(n-1)/[(n^2+n)*3^n]=lim 2(n^2+2n)/(3n^2+3n)
=2/3

(2) an/n^2=(2+4/n)*3^(n-1)>2*3^(n-1)
a1/1^2=2+4=6
a1/1^2+a2/2^2......an/n^2>4+2+2*3+2*3^2......2*3^(n-1)
=4+2(3^n-1)/(3-1)=4+3^n-1=3^n+3>3^n