Question

证明f(x),x趋向去于x0，极限存在的充分必要条件是f(x)在x0处的左右极限都存在并且相等

Answer 1

充分性：（已知左右极限存在且相等，证明极限存在）

设lim[x→x0+] f(x)＝A，lim[x→x0-] f(x)＝A
由，lim[x→x0+] f(x)＝A
则，对于任意ε>0，存在δ1>0，当0<x－x0<δ1时，有|f(x)－A|<ε成立；
又由，lim[x→x0-] f(x)＝A，
则，对于任意ε>0，存在δ2>0，当 -δ2<x－x0<0 时，有|f(x)－A|<ε成立；
取δ＝min{δ1，δ2}，则当0<|x－x0|<δ时，
若x>x0，则0<|x-x0|<δ≤δ1成立，
若x<x0，则-δ2≤-δ<x-x0<0成立，
综上可得：无论哪种情况，均有|f(x)－A|<ε成立，因此lim[x→x0] f(x)＝A

必要性：（已知极限存在，证明左右极限存在并相等）

由lim[x→x0] f(x)＝A，
则，任取ε>0，存在δ>0，当0<|x－x0|<δ时，有|f(x)－A|<ε成立
此时有：0<x-x0<δ时，
|f(x)－A|<ε成立
所以，lim[x→x0+] f(x)＝A
同理，-δ<x－x0<0 时
|f(x)-A|<ε成立
所以，lim[x→x0-] f(x)＝A
综上可得，lim[x→x0+] f(x)＝lim[x→x0-] f(x)＝A

Answer 2

可以用定义证明，详情如图所示