Question

已知空间四边形ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，求证：AD⊥BC

已知空间四边形ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，求证：AD⊥BC．

Answer 1

证明： AD ? BC =( AB + BD )?( AC - AB ) = AB ? AC + BD ? AC - AB 2 - AB ? BD = AB ?( AC - AB - BD )= AB ? DC =0 ∴ AD ⊥ BC ∴AD⊥BC．

Answer 2

过A作AH⊥平面BCD于H，则AH⊥CD
又∵AB⊥CD，AB与AH交于A
∴CD⊥平面ABH
∴CD⊥BH
同理BD⊥CH
∴在三角形BCD中H为垂心
∴BC⊥DH
又∵AH⊥BC，DH与AH交于H
∴BC⊥平面ADH
∴BC⊥AD