Question

如图，已知抛物线y=ax 2 +bx+c（a≠0）的顶点M在第一象限，抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边）

如图，已知抛物线y=ax 2 +bx+c（a≠0）的顶点M在第一象限，抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交与点C，O为坐标原点，如果△ABM是直角三角形，AB=2， OM= 5 ．（1）求点M的坐标；（2）求抛物线y=ax 2 +bx+c的解析式；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PAC为直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1） ∵点M为抛物线的顶点， ∴MA=MB， 又∵△ABM是直角三角形， ∴△AMB是等腰直角三角形， ∵AB=2， ∴ME=1， 在Rt△OME中，可得OE= OM 2 -ME 2 =2， 故可得点M的坐标为（2，1）． （2）∵AE=BE= 1 2 AB=1，OE=2， ∴OA=1，OB=3， ∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，0）， 将点A、B、M的坐标代入抛物线解析式可得： a+b+c=0 9a+3b+c=0 4a+2b+c=1 ， 解得： a=-1 b=4 c=-3 ， 故抛物线的解析式为：y=-x 2 +4x-3． （3）设点P的坐标为（2，y）， 则AC 2 =10，AP 2 =1+y 2 ，CP 2 =4+（y+3） 2 ， ①当∠PAC=90°时，AC 2 +AP 2 =CP 2 ，即10+1+y 2 =4+（y+3） 2 ， 解得：y=- 1 3 ， 即此时点P的坐标为（2，- 1 3 ）； ②当∠PCA=90°时，AC 2 +CP 2 =AP 2 ，即10+4+（y+3） 2 =1+y 2 ， 解得：y=- 11 3 ， 即此时点P的坐标为（2，- 11 3 ）； ③当∠APC=90°时，AP 2 +CP 2 =AC 2 ，即1+y 2 +4+（y+3） 2 =10， 解得：y=-1或-2， 即此时点P的坐标为（2，-1）或（2，-2）； 综上可得点P的坐标为（2，- 1 3 ）或（2，- 11 3 ）或（2，-1）或（2，-2）．