Question

选修4-1几何证明选讲已知△ABC中AB=AC，D为△ABC外接圆劣弧，AC上的点（不与点A、C重合），延长BD至E，延

选修4-1几何证明选讲已知△ABC中AB=AC，D为△ABC外接圆劣弧，AC上的点（不与点A、C重合），延长BD至E，延长AD交BC的延长线于F．（I）求证．∠CDF=∠EDF（II）求证：AB?AC?DF=AD?FC?FB．





Answer 1

证明：（I）∵A，B，C，D 四点共圆，∴∠ABC=∠CDF
又AB=AC∴∠ABC=∠ACB，
且∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=∠CDF，7分
对顶角∠EDF=∠ADB，故∠EDF=∠CDF；
（II）由（I）得∠ADB=∠ABF
∵∠BAD=∠FAB
∴△BAD∽△FAB
∴

AB

AF

＝

AD

AB

∴AB²=AD?AF
∵AB=AC
∴AB?AC=AD?AF
∴AB?AC?DF=AD?AF?DF
根据割线定理DF?AF=FC?FB
∴AB?AC?DF=AD?FC?FB