Question

选修4-1：几何证明选讲如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，△ACD的外接圆交BC于E，AB=2AC．（Ⅰ）求

选修4-1：几何证明选讲如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，△ACD的外接圆交BC于E，AB=2AC．（Ⅰ）求证：BE=2AD；（Ⅱ）若AC=1，EC=2，求AD的长．

Answer 1

证明：（1）∵CD是∠ACB的角平分线，△ACD的外接圆交BC于E，
∴DE=DA，
∵A，D，E，C四点共圆，
∴∠DEC+∠DAC=180°，
又∵∠DEC+∠DEB=180°，
∴∠DAC=∠DEB，
又∵∠B=∠B，
∴△DBE∽△CAB，
∵AB=2AC，∴BE=2DE，
∴BE=2AD．
（2）由切割线定理知BD?BA=BE?BC，
∵AC=1，EC=2，AB=2AC，BE=2AD，
∴AB=2，BD=BE=2AD，
设BE=x，
∵△DBE∽△CAB，
∴

2?AD

2+x

＝

AD

1

＝

x

2

，
∴

2?AD

2+2AD

＝AD，即2AD²+3AD-2=0，
解得AD=

1

2

，或AD=-2（舍），
∴AD=

1

2

．