Question

【选修4-1几何证明选讲】如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E、F分别为弦AB与弦AC

【选修4-1几何证明选讲】如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E、F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC?AE=DC?AF，B、E、F、C四点共圆．（1）证明：CA是△ABC外接圆的直径；（2）若DB=BE=EA，求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．

Answer 1

（1）证明：∵CD为△ABC外接圆的切线，∴∠DCB=∠A，
∵BC?AE=DC?AF，∴

BC

FA

＝

DC

EA

．
∴△CDB∽△AEF，∴∠CBD=∠AFE．
∵B、E、F、C四点共圆，∴∠CFE=∠DBC，∴∠CFE=∠AFE=90°．
∴∠CBA=90°，∴CA是△ABC外接圆的直径；
（2）连接CE，∵∠CBE=90°，
∴过B、E、F、C四点的圆的直径为CE，由DB=BE，得CE=DC，
又BC²=DB?BA=2DB²，
∴CA²=4DB²+BC²=6DB²．
而DC²=DB?DA=3DB²，
故过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC面积的外接圆的面积比值=

CE2

AC2

=

3DB2

6DB2

＝

1

2

．