Question

选修4-1几何证明选讲如图，已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于E，连结AD、BD、OC、OD，且OD=5．（Ⅰ）若sin∠BA

选修4-1几何证明选讲如图，已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于E，连结AD、BD、OC、OD，且OD=5．（Ⅰ）若sin∠BAD=35，求CD的长；（Ⅱ）若∠ADO：∠EDO=4：1，求扇形OAC（阴影部分）的面积（结果保留π）．

Answer 1

（I）∵⊙O的直径AB垂直于弦CD于E，∴CE=ED，∠ADB=90°．
在Rt△ABD中，∵sin∠BAD=

3

5

，∴BD＝AB?sin∠BAD＝10×

3

5

=6．
由勾股定理可得AD＝

AB2?AD2

=

102?62

=8．
∵

1

2

AB×ED＝

1

2

AD?BD，∴ED＝

AD?BD

AB

＝

6×8

10

=4.8．
∴CD=2ED=9.6．
（II）设∠ODE=x，则∠ADO=4x，∵OA=OD，∴∠OAD=4x．
∴∠EOD=∠OAD+∠ODE=8x．
在Rt△EOD中，∠EOD+∠ODE=

π

2

，∴8x+x=

π

2

，解得x=

π

18

．
∴∠ADC＝

5π

18

，
∴∠AOC=2∠ADC=

5π

9

．
∴扇形OAC（阴影部分）的面积S=

1

2

×

5π

9

×52=

125

18

π．