已知函数f(x)=ax-2lnx,a∈R.(Ⅰ)当a=3时,求函数f(x)在(1,f(1))的切线方程.(Ⅱ)求函数f
已知函数f(x)=ax-2lnx,a∈R.(Ⅰ)当a=3时,求函数f(x)在(1,f(1))的切线方程.(Ⅱ)求函数f(x)的极值.(Ⅲ)对于曲线上的不同两点P1(x1,...
已知函数f(x)=ax-2lnx,a∈R.(Ⅰ)当a=3时,求函数f(x)在(1,f(1))的切线方程.(Ⅱ)求函数f(x)的极值.(Ⅲ)对于曲线上的不同两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),如果存在曲线上的点Q(x0,y0),且x1<x0<x2,使得曲线在点Q处的切线l∥P1P2,则称l为弦P1P2的伴随切线.当a=2时,已知两点A(1,f(1)),B(e,f(e)),试求弦AB的伴随切线l的方程.
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(I)当a=3时,f(x)=3x-2lnx,则f(1)=3,f′(x)=3?
∴f'(1)=1
∴切线方程为y-3=x-1即x-y+2=0…(4分)
(Ⅱ)f′(x)=a?
,x>0.
当a≤0时,f'(x)<0,函数f(x)在(0,+∞)内是减函数,∴函数f(x)没有极值. …(6分)
当a>0时,令f'(x)=0,得x=
.
当x变化时,f'(x)与f(x)变化情况如下表:
∴当x=
时,f(x)取得极小值f(
)=2?2ln
.
综上,当a≤0时,f(x)没有极值;
当a>0时,f(x)的极小值为2?2ln
,没有极小值.…(9分)
(Ⅲ)当a=2时,设切点Q(x0,y0),则切线l的斜率为f′(x0)=2?
,x0∈(1,e).
弦AB的斜率为kAB=
=
=2?
. …(10分)
由已知得,l∥AB,则2?
=2?
,解得x0=e-1,…(12分)
所以,弦AB的伴随切线l的方程为:y=
x+2?2ln(e?1).…(14分)
2 |
x |
∴f'(1)=1
∴切线方程为y-3=x-1即x-y+2=0…(4分)
(Ⅱ)f′(x)=a?
2 |
x |
当a≤0时,f'(x)<0,函数f(x)在(0,+∞)内是减函数,∴函数f(x)没有极值. …(6分)
当a>0时,令f'(x)=0,得x=
2 |
a |
当x变化时,f'(x)与f(x)变化情况如下表:
x | (0,
|
| (
| ||||||
f'(x) | - | 0 | + | ||||||
f(x) | 单调递减 | 极小值 | 单调递增 |
2 |
a |
2 |
a |
2 |
a |
综上,当a≤0时,f(x)没有极值;
当a>0时,f(x)的极小值为2?2ln
2 |
a |
(Ⅲ)当a=2时,设切点Q(x0,y0),则切线l的斜率为f′(x0)=2?
2 |
x0 |
弦AB的斜率为kAB=
f(e)?f(1) |
e?1 |
2(e?1)?2(1?0) |
e?1 |
2 |
e?1 |
由已知得,l∥AB,则2?
2 |
x0 |
2 |
e?1 |
所以,弦AB的伴随切线l的方程为:y=
2e?4 |
e?1 |
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