Question

已知数列{an}中的相邻两项a2k-1、a2k是关于x的方程x2-（3k+2k）x+3k?2k=0的两个根，且a2k-1≤a2k（k∈N*

已知数列{an}中的相邻两项a2k-1、a2k是关于x的方程x2-（3k+2k）x+3k?2k=0的两个根，且a2k-1≤a2k（k∈N*）．（Ⅰ）求a1，a3，a5，a7及写出a2n（n∈N*且n≥4）（不必证明）；（Ⅱ）对于任意n∈N*且n≥4，猜想a2n与（2n）2的大小关系．

Answer 1

（Ⅰ）方程x²-（3k+2^k）x+3k?2^k=0的两个根为x1＝3k，x2＝2k．
当k=1时，x₁=3，x₂=2，所以a₁=2；   当k=2时，x₁=6，x₂=4，所以a₃=4；
当k=3时，x₁=9，x₂=8，所以a₅=8；  当k=4时，x₁=12，x₂=16，所以a₇=12；
因为n≥4时，2ⁿ＞3n，所以a2n＝2n(n≥4)…（6分）
（Ⅱ）当n=4时，a2n＝24＝16 ＜ 82 ＝(2n)2；   
当n=5时，a2n＝25＝32 ＜ 102 ＝(2n)2；
当n=6时，a2n＝26＝64 ＜ 122 ＝(2n)2；   
当n=7时，a2n＝27＝128 ＜ 142 ＝(2n)2；
当n=8时，a2n＝28＝256 ＝ 162 ＝(2n)2；   
当n=9时，a2n＝29＝512 ＜ 182 ＝(2n)2；
所以猜想：当4≤n＜7时，a2n＜(2n)2；     
当n=8时，a2n＝(2n)2；
当n≥9时，a2n＞(2n)2；…（12分）