如图,抛物线y=ax2+bx+c(a<0)交x轴于点A(-1,0)、B(3,0),交y轴于点C.(1)求抛物线的顶点M的坐
如图,抛物线y=ax2+bx+c(a<0)交x轴于点A(-1,0)、B(3,0),交y轴于点C.(1)求抛物线的顶点M的坐标;(用a的代数式表示)(2)直线y=x+d经过...
如图,抛物线y=ax2+bx+c(a<0)交x轴于点A(-1,0)、B(3,0),交y轴于点C.(1)求抛物线的顶点M的坐标;(用a的代数式表示)(2)直线y=x+d经过C、M两点,并且与x轴交于点D.①求抛物线的函数表达式;②若四边形CDAN是平行四边形,且点N在抛物线上,则点N的坐标为(______,______);③设点P是抛物线对称轴上一动点,请探索:是否存在这样的点P,使以点P为圆心的圆经过A、B两点,并且与直线CD相切?如果存在,请求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
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(1)由于抛物线y=ax2+bx+c(a<0)经过A(-1,0)、B(3,0),则有:
,
解得
;
∴y=ax2-2ax-3a=a(x-1)2-4a;
∴M(1,-4a);
(2)①由(1)知:C(0,-3a);
∴直线y=x+d中,d=-3a,即y=x-3a;
∵直线y=x-3a经过M(1,-4a),
则有:1-3a=-4a,a=-1;
∴抛物线的解析式为:y=-x2+2x+3;
②由①的抛物线知:C(0,3),M(1,4),对称轴为x=1;
若四边形CDAN是平行四边形,则CN∥x轴,
∴C、N关于抛物线的对称轴对称,
即N(2,3);
③存在符合条件的P点,且P(1,2
-4)
易知A(-1,0),B(3,0),M(1,4);
由①可得直线CM的解析式为y=x+3,则D(-3,0);
设抛物线的对称轴x=1与x轴的交点为Q,⊙P与直线CD的切点为E,连接PE、PA;
根据圆和抛物线的对称性知,圆心P必在抛物线的对称轴上,可设PE=PA=m;
∵在Rt△DMQ中,DQ=MQ=4,
∴△MDQ是等腰Rt△,∠DMQ=45°;
在Rt△PME中,PE=m,∠EMP=∠DMQ=45°,则PM=
m;
在Rt△PAQ中,PA=m,AQ=
AB=2,则PQ=
;
由于MQ=MP+PQ=4,即:
m+
=4,
解得m=4
-2
;
∴
m=8-2
,4-
m=2
-4;
即P(1,2
-4).
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解得
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∴y=ax2-2ax-3a=a(x-1)2-4a;
∴M(1,-4a);
(2)①由(1)知:C(0,-3a);
∴直线y=x+d中,d=-3a,即y=x-3a;
∵直线y=x-3a经过M(1,-4a),
则有:1-3a=-4a,a=-1;
∴抛物线的解析式为:y=-x2+2x+3;
②由①的抛物线知:C(0,3),M(1,4),对称轴为x=1;
若四边形CDAN是平行四边形,则CN∥x轴,
∴C、N关于抛物线的对称轴对称,
即N(2,3);
③存在符合条件的P点,且P(1,2
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易知A(-1,0),B(3,0),M(1,4);
由①可得直线CM的解析式为y=x+3,则D(-3,0);
设抛物线的对称轴x=1与x轴的交点为Q,⊙P与直线CD的切点为E,连接PE、PA;
根据圆和抛物线的对称性知,圆心P必在抛物线的对称轴上,可设PE=PA=m;
∵在Rt△DMQ中,DQ=MQ=4,
∴△MDQ是等腰Rt△,∠DMQ=45°;
在Rt△PME中,PE=m,∠EMP=∠DMQ=45°,则PM=
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在Rt△PAQ中,PA=m,AQ=
1 |
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m2?4 |
由于MQ=MP+PQ=4,即:
2 |
m2?4 |
解得m=4
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3 |
∴
2 |
6 |
2 |
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即P(1,2
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