Question

如图，在等腰△ABC中AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC

如图，在等腰△ABC中AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，OP与AC相交与点M，则下列结论：①点O是△PBC的外心；②△MAO∽△MPC；③AC=AO+AP；④S△ABC=45S四边形AOCP．其中正确的有（　　）A．1个B．2个C．3个D．4个

Answer 1

解答：解：①连接OB，
∵在等腰△ABC中AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，
∴OB=OC，
∵OP=OC，
∴点O是△PBC的外心；
故①正确；
②∵在等腰△ABC中AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠ABC=∠ACB=

180°?∠BAC

2

=30°，
∴∠AOC=2∠ABC=60°，
∵OP=OC，
∴△OPC是等边三角形，
∴∠OPC=60°，
∵∠OAM=

1

2

∠BAC=60°，
∴∠OAM=∠CPM，
∵∠AMO=∠CMP，
∴△MAO∽△MPC；
故②正确；
③在AC上截取AE=PA，
∵∠PAE=180°-∠BAC=60°，
∴△APE是等边三角形，
∴∠PEA=∠APE=60°，PE=PA，
∴∠APO+∠OPE=60°，
∵∠OPE+∠CPE=∠CPO=60°，
∴∠APO=∠CPE，
∵OP=CP，
在△OPA和△CPE中，

PA＝PE  ∠APO＝∠CPE  OP＝CP

，
∴△OPA≌△CPE（SAS），
∴AO=CE，
∴AC=AE+CE=AO+AP；
故③正确；
④过点C作CH⊥AB于H，
∵∠PAC=∠DAC=60°，AD⊥BC，
∴CH=CD，
∴S_△ABC=

1

2

AB?CH，S_{四边形AOCP}=S_△ACP+S_△AOC=

1

2

AP?CH+

1

2

OA?CD=

1

2

AP?CH+

1

2

OA?CH=

1

2

CH?（AP+OA）=

1

2

CH?AC，
∵AB=AC，
∴S_△ABC=S_{四边形AOCP}．
故④错误．
故选C．

Answer 2

选C，解答如下：

1、连接OB

∵在等腰△ABC中AB=AC，AD⊥BC，

∴BD=CD，

∴OB=OC，

∵OP=OC，

∴点O是△PBC的外心；

故①正确；

2、

∵在等腰△ABC中AB=AC，∠BAC=120°，

∴∠ABC=∠ACB=（180°-∠BAC）/2=30°，

∴∠AOC=2∠ABC=60°，

∵OP=OC，

∴△OPC是等边三角形，

∴∠OPC=60°，

∵∠OAM=0.5，∠BAC=60°，

∴∠OAM=∠CPM，

∵∠AMO=∠CMP，

∴△MAO∽△MPC；

故②正确；

3、在AC上截取AE=PA，

∵∠PAE=180°-∠BAC=60°，

∴△APE是等边三角形，

∴∠PEA=∠APE=60°，PE=PA，

∴∠APO+∠OPE=60°，

∵∠OPE+∠CPE=∠CPO=60°，

∴∠APO=∠CPE，

∵OP=CP，

在△OPA和△CPE中，

PA＝PE 

∠APO＝∠CPE 

OP＝CP 

∴△OPA≌△CPE（SAS），

∴AO=CE，

∴AC=AE+CE=AO+AP；

故③正确；

4、

过点C作CH⊥AB于H，

∵∠PAC=∠DAC=60°，AD⊥BC，

∴CH=CD，

∴S△ABC=0.5

AB⊥CH，S四边形AOCP=S△ACP+S△AOC=0.5

∴S△ABC=S四边形AOCP．

故④错误．