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微积分的问题
已知f(x)=3x+3∫(0.x)f(t)dt+4∫(0,1)f(t)dt............1f(0)=4∫(0,1)f(t)dt.............2两边微...
已知f(x)=3x+3∫(0.x)f(t)dt+4∫(0,1)f(t)dt............1
f(0)=4∫(0,1)f(t)dt .............2
两边微分得 f ' (x)=3( 1+f(x) )
于是得 ( 1+f(x) )' / 1+f(x) =3 .............3
3的两边积分得 .............4
从而得f(x)=???? .............5
请问大家3是怎么来的???4和5分别是多少呢???
请大家不吝赐教。 展开
f(0)=4∫(0,1)f(t)dt .............2
两边微分得 f ' (x)=3( 1+f(x) )
于是得 ( 1+f(x) )' / 1+f(x) =3 .............3
3的两边积分得 .............4
从而得f(x)=???? .............5
请问大家3是怎么来的???4和5分别是多少呢???
请大家不吝赐教。 展开
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因为常函数1的导数是0,所以 (1+f(x))'=1'+f'(x)=f'(x).
再将等号右边的 1+f(x) 除到左边就得到 (1+f(x))'/(1+f(x))=3.
将 1+f(x) 看成一个整体,或者先用换元: y=1+f(x),那么(3)式就变成了y'/y=3,此时两边对x积分得到 lny=3x+C,也就是 ln[1+f(x)]=3x+C,C是任意常数。然后将 f(x) 解出来就行了。
f(x)=C*e^(3x)-1. 注意这里的C和上面的C是不同的,但一般不需要再用另外一个变量去说明了,直接写成C就可以。
再将等号右边的 1+f(x) 除到左边就得到 (1+f(x))'/(1+f(x))=3.
将 1+f(x) 看成一个整体,或者先用换元: y=1+f(x),那么(3)式就变成了y'/y=3,此时两边对x积分得到 lny=3x+C,也就是 ln[1+f(x)]=3x+C,C是任意常数。然后将 f(x) 解出来就行了。
f(x)=C*e^(3x)-1. 注意这里的C和上面的C是不同的,但一般不需要再用另外一个变量去说明了,直接写成C就可以。
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首先f'(x)=3(1+f(x))这步之前应该都已经知道了吧。
这类题做多了自然就联想到了(1+f(x))'=f'(x),,联想到构建ln(1+f(x))函数,然后就有了(1+f(x))'/1+f(x)=3
第四步积分得ln(1+f(x))=3x+C1
f(x)=e^(3x+C1)-1=C*e^3x-1
又f(0)=C-1=4∫(0,1)f(t)dt=4(Ce^3/3-1-C/3)
C=9/(4*e^3-7)。。。不知道有没算错
f(x)=9*e^3x/(4*e^3-7)-1
这类题做多了自然就联想到了(1+f(x))'=f'(x),,联想到构建ln(1+f(x))函数,然后就有了(1+f(x))'/1+f(x)=3
第四步积分得ln(1+f(x))=3x+C1
f(x)=e^(3x+C1)-1=C*e^3x-1
又f(0)=C-1=4∫(0,1)f(t)dt=4(Ce^3/3-1-C/3)
C=9/(4*e^3-7)。。。不知道有没算错
f(x)=9*e^3x/(4*e^3-7)-1
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上面得到
f'(x)=3(1+f(x))
(1+f(x))'=f'(x)=3(1+f(x))
(1+f(x))'/(1+f(x))=3
f'(x)=3(1+f(x))
(1+f(x))'=f'(x)=3(1+f(x))
(1+f(x))'/(1+f(x))=3
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