Question

已知f(x)为定义在R+上的函数，且对任意x、y∈R+，当0＜x＜1时

接标题：都有f(xy)=f(x)+f(y)，当0＜x＜1时，f(x)＞0,判断函数单调性。

Answer 1

令Y=X，f(x的平方)=2f(x)且它们都为正，所以f(x的平方)》f(x)，又x属于（0,1），所以x的平方《X，所以该函数单减 .
楼上的同学乱来的？

Answer 2

解：在f(xy)=f(x)+f(y)，x，y>0中
令x=y=1，得f(1)=0
再令y=1/x，得f(x)+f(1/x)=f(1)=0，
即f(1/x)=-f(x)
设0<x1<x2
则f(x1)-f(x2)=f(x1)+[-f(x2)]
=f(x1)+f(1/x2)
=f(x1/x2)
∵0<x1<x2
∴0<x1/x2<1
由题意，当0＜x＜1时，f(x)＞0
∴f(x1/x2)>0，即f(x1)>f(x2)
∴f(x)在(0,+∞)上是减函数.

Answer 3

减函数
由f(xy)=f(x)+ f(y)可知：
f(x)=log(a)x.
又∵0<x<1时f(x)>0，
∴0<a<1,
∴f(x)在(0,+∞)上是减函数