Question

如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=2，E为AB上任意一动点，以CE为斜边作等腰Rt△CDE，连接AD

如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=2，E为AB上任意一动点，以CE为斜边作等腰Rt△CDE，连接AD，下列说法：①∠BCE=∠ACD；②AC⊥ED；③△AED∽△ECB；④AD∥BC；⑤四边形ABCD的面积有最大值，且最大值为 ．其中，正确的结论是 。 A．①②④ B．①③⑤ C．②③④ D．①④⑤

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Answer 1

①④⑤.

试题分析：首先根据已知条件看能得到哪些等量条件，然后根据得出的条件来判断各结论是否正确． ∵△ABC、△DCE都是等腰Rt△， ∴AB=AC= BC= ，CD=DE= CE； ∠B=∠ACB=∠DEC=∠DCE=45°； ①∵∠ACB=∠DCE=45°， ∴∠ACB-∠ACE=∠DCE-∠ACE； 即∠ECB=∠DCA；故①正确； ②当B、E重合时，A、D重合，此时DE⊥AC； 当B、E不重合时，A、D也不重合，由于∠BAC、∠EDC都是直角，则∠AFE、∠DFC必为锐角； 故②不完全正确； ④∵ ， ∴ ； 由①知∠ECB=∠DCA，∴△BEC∽△ADC； ∴∠DAC=∠B=45°； ∴∠DAC=∠BCA=45°，即AD∥BC，故④正确； ③由④知：∠DAC=45°，则∠EAD=135°； ∠BEC=∠EAC+∠ECA=90°+∠ECA； ∵∠ECA＜45°，∴∠BEC＜135°，即∠BEC＜∠EAD； 因此△EAD与△BEC不相似，故③错误； ⑤△ABC的面积为定值，若梯形ABCD的面积最大，则△ACD的面积最大；△ACD中，AD边上的高为定值（即为1），若△ACD的面积最大，则AD的长最大； 由④的△BEC∽△ADC知：当AD最长时，BE也最长； 故梯形ABCD面积最大时，E、A重合，此时EC=AC= ，AD=1； 故S 梯形ABCD = （1+2）×1= ，故⑤正确； 因此本题正确的结论是①④⑤.