Question

如图，在△ABC 中，BA=BC，以AB为直径作半圆⊙O，交AC于点D．连结DB，过点D 作DE⊥BC，垂足为点E． （1

如图，在△ABC 中，BA=BC，以AB为直径作半圆⊙O，交AC于点D．连结DB，过点D 作DE⊥BC，垂足为点E． （1）求证：AD = CD；（2）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）求证：DB2 = AB·BE．

Answer 1

解：
（1）∵AB为圆O直径，D在圆O上
∴∠ADB＝90°＝∠CDB
∵AB＝BC
∴∠DAB＝∠DCB
在△BDA和△BDC中
∠DAB＝∠DCB
∠ADB＝∠CDB
BD＝BD
∴△BDA≌△BDC（AAS）
∴AD＝CD
（2）DE与圆O相切
连接OD
∵在圆O中
∴OD＝OB
∴∠ODB＝∠OBD
∵△BDA≌△BDC
∴∠CBD＝∠OBD
∴∠ODB＝∠CBD
∴CB∥DO
∵DE⊥BC
∴∠DEB＝90°
∴∠EDB＝90°
∴DE与圆O相切
（3）∵∠ADB＝∠DEB＝90°，∠EBD＝∠DBA
∴△EBD～△DBA
∴DB／AB＝BE／DB
∴DB2＝AB·BE

Answer 2

证明：（1）连接OD、BD，则∠ADB=90°（圆周角定理），
∵BA=BC，
∴CD=AD（三线合一），
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥BC，
∵∠DEB=90°，
∴∠ODE=90°，
即OD⊥DE，
故可得DE为⊙O的切线；
（2）∵△BED∽△BDC，
∴ = ，
又∵AB=BC，
∴ = ，
故 =AB·BE．

Answer 3

在⊙O中，AB为直径，所以AD⊥BD
又∵AB=BC
∴AD=CD（等腰三角形三线合一）
（2）角C=角A
角ADB=角CED
∴角ABD=角CDE
连接DO
角ODE=角OBD
∴角ODB=角CDE
∴角ODE=角CDB=90°
（3）BD⊥AC
AB=BC
∴∠ABD=∠DBE
所以△ADB∽△DEB
所以DB：AB=BE：BD
所以DB²=AB×BE

Answer 4

1 AB=BC,AB为直径 所以BD垂直AC，所以D为AC中点 AD=CD
2相切 连OD 易得角ODB等于角OBD等于角CBD 所以OD平行BC 所以OD垂直DE
3三角形DEB与三角形ADB相似

Answer 5

（1）AB是⊙O的直径，∠ADB = 90°
BA = BC，BD = BD
RtΔABD ≌ RtΔCBD
AD = CD

（2）DE是⊙O的切线
连接 OD，∠ODB = ∠OBD （等腰三角形底角）
∠CDB = ∠OBD （全等直角三角形）
∠CDB = ∠CDE （都与∠C 互余）
∴ ∠ODB = ∠CDE
∠ODE = 90°
DE是⊙O的切线
(3)
RtΔCBD ∽ RtΔBDE
BE：DB = DB：BC
DB² = BC · BE = AB · BE