Question

如图，在△ABC 中，BA=BC，以AB为直径作半圆⊙O，交AC于点D．连结DB，过点D 作DE⊥BC，垂足为点E． （1

如图，在△ABC 中，BA=BC，以AB为直径作半圆⊙O，交AC于点D．连结DB，过点D 作DE⊥BC，垂足为点E． （1）求证：AD = CD；（2）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）求证：DB2 = AB·BE．

Answer 1

（1） 因为 ABD三点在圆上 且 AB为直径， 所以 角 ADB为直角，所以 BD⊥AC
又因为 BC＝AB，所以△ABC为等腰三角形，且BD⊥AC， 所以AD＝CD

（2）连接OD，因为 OD＝OA，所以∠DAO＝∠ODA，又因为AB＝BC，所以∠BAC＝∠BCA，
因为DE⊥BC，所以∠ACD＋∠CDE＝90°，所以 ∠BAC＋∠CDE＝90°，所以∠ODA＋∠CDE＝90°，
所以∠ODE＝180°－90°＝90°，所以DE⊥OD，且与○O交于D点，因此DE为圆的切线。

（3）在直角△BDC中，由射影定理BD²＝BE×BC
而BC＝AB
所以 BD²＝BE×AB、
（射影定理，又称“欧几里德定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。）

还有不懂可以继续问哦。纯手打希望采纳

Answer 2

（1）证明：因为AB是半圆O的直径
所以角ADB=90度
所以BD是三角形ABC的垂线
因为BA=BC
所以三角形ABC是等腰三角形
所以BD是等腰三角形ABC的垂线 ，中线
所以D是AC的中点
所以AD=CD
(2)直线DE与圆O相切
证明：连接OD
因为OB=OD
所以角OBD=角ODB
因为BD是等腰三角形ABC的垂线（已证）
所以BD是等腰三角形ABC的角平分线
所以角CBD=角OBD
所以角CBD=角ODB
所以OD平行BC
所以角ODE+角DEB=180度
因为DE垂直BC于E
所以角DE=90度
所以角ODE=90度
所以OD垂直DE
因为OD是半圆O的半径
所以直线DE与圆O相切
（3）证明：因为角ADB+角CDB=180度（平角等于180度）
角ADB=90度（已证）
所以角CDB=90度
因为角DEB=90度（已证）
所以角CDB=角DEB=90度
因为角CBD=角CBD
所以三角形CDB相似三角形DEB (AA)
所以DB/BE=BC/DB
所以DB^2=BE*BC
因为AB=BA=BC
所以DB^2=AB*BE

Answer 3

(1) AB为直径
有 <ADB=<CDB=90
BD为AC边上的中线（等腰三角形三线合一。（也可以 ADB全等于CDB））
AD＝CD
（2） DE相切于圆
连OD O是AB中点 D是AC中点
OD是中位线 得 OD平行于BC
OD垂直DE 所以 DE是切线
(3) <ABD=<CBD <ADB=<DEB=90
三角形ADB相似于DEB
AB/DB＝DB/BE
即 BD*BD＝ AB*BE

Answer 4

好久都不做这种题了，相似符号都忘了，步骤我省略了一些，理解就好

Answer 5

仅供参考，如满意请采纳。谢谢。