Question

如图，在△ABC 中，BA=BC，以AB为直径作半圆⊙O，交AC于点D．连结DB，过点D 作DE⊥BC，垂足为点E． （1

如图，在△ABC 中，BA=BC，以AB为直径作半圆⊙O，交AC于点D．连结DB，过点D 作DE⊥BC，垂足为点E． （1）求证：AD = CD；（2）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）求证：DB2 = AB·BE．

Answer 1

都大学毕业十年了，记不清楚定律，但是记得原理
1）有一个定律就是直径对应的角是直角，所以角ADB=90°，而三角形ABC是等腰三角形，用勾股定律都可以算出AD=CD。
2）直线和圆的关系就是三个，相切，相交或者相离。首先直线和圆相交，所以可以断定不是相离。
这里要证明的是OD和DE是不是垂直的即可。第一题已经证明了D是AC的中点，O是AB的中点，这里有个定律可以证明OD平行于BC，而DE垂直BC，所以OD垂直于DE。所以DE和圆O是相切的。
3）CE:DE=DE:BE所以DE2=CE*BE
DB2=BC2-DC2=BE2+CE2+2BE*CE-DC2=BE2+2BE*CE-DE2=BE2+BE*CE=BE*(BE+CE)=BE*BC=BE*AB
求证完毕，不过里面的定律具体名称我实在记不得了，你却要记住，否则不给你分

Answer 2

1）、因为AB为直径，所以角ADB=90度，角BAD=角BCD（等腰三角形），所以三角形ABD和三角形BCD相似（相等），所以AD=CD，且角ABD=角CBD；
2）、直线DE与圆O相切。连接OD，则角ODB=角OBD，所以角ODE=角EDB+角ODB，因为角OBD=角EBD（上题证明），所以角ODE=角EDB+角EBD=90度。所以DE与圆O相切（直线与半径垂直于圆上）。
3）、RT三角形ABD与RT三角形BDE相似（两个直角三角形的一个锐角相等，则另一个锐角也相等)，所以AB/BD=BD/BE，所以BD^2=AB*BE。