Question

如图，在△ABC 中，BA=BC，以AB为直径作半圆⊙O，交AC于点D．连结DB，过点D 作DE⊥BC，垂足为点E． （1

如图，在△ABC 中，BA=BC，以AB为直径作半圆⊙O，交AC于点D．连结DB，过点D 作DE⊥BC，垂足为点E． （1）求证：AD = CD；（2）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）求证：DB2 = AB·BE．

Answer 1

（1）∵ AB是直径∴ ∠ADB=90°∵ BA = BC∴ AD = CD（2）DE与⊙O相切；（3）可证明： △BED∽△BDC得到 证明DB2 = AB·BE

试题分析：证明：（1）∵ AB是直径∴ ∠ADB=90°∵ BA = BC∴ AD = CD                （2）DE与⊙O相切；连接OD，                  ∵CD=AD                                 又∵AO=BO ∴OD是△ABC的中位线 ∴OD∥BC                                                  ∵∠DEB=90° ∴∠ODE=90° 即OD⊥DE ∴DE为⊙O的切线。           （3）∵∠BED =∠BDC =90 0 ，∠EBD =∠DBC      ∴△BED∽△BDC                      ∴                                 又∵AB=BC ∴                                 ∴BD 2 =AB?BE 点评：本题难度中等，主要考查学生对圆及相似三角形判定性质知识点的掌握与运用能力。

Answer 2

1）∵  ∠ADB=90°（半圆上的圆周角是直角）  ；   BA=BC ；   BD=BD

∴  △BAD≌△BCD（斜边直、角边）

∴  AD=CD

2）∵ ED与⊙o只有一个公共点D

∴  直线DE与⊙O的位置关系是外切。

3）DB2= AB·BE，不明白啥意思，估计用勾股定理和射影定理可证。

Answer 3

证明：（1）连接OD、BD，则∠ADB=90°（圆周角定理），
∵BA=BC，
∴CD=AD（三线合一），
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥BC，
∵∠DEB=90°，
∴∠ODE=90°，
即OD⊥DE，
故可得DE为⊙O的切线；

Answer 4

证明：（1）连接OD、BD，则∠ADB=90°（圆周角定理），
∵BA=BC，
∴CD=AD（三线合一），
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥BC，
∵∠DEB=90°，
∴∠ODE=90°，
即OD⊥DE，
故可得DE为⊙O的切线；
∵△BED∽△BDC，
∴BD/BC=BE/BD，
又∵AB=BC，
∴BD/AB=BE/BD，
故BD²=AB·BE．

Answer 5

如图所示