Question

如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，PA=AB= ，点E是棱PB的中点。 (

如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，PA=AB= ，点E是棱PB的中点。 (1)求直线AD与平面PBC的距离；(2)若AD= ，求二面角A-EC-D的平面角的余弦值。

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Answer 1

解：(1) 如图，在矩形ABCD 中，AD BC，从而AD 平面PBC ，故直线AD 与平面PBC 的距离为点A 到平面  PBC 的距离． 因PA⊥底面ABCD ，故PA ⊥AB ， 由PA=AB 知△PAB 为等腰直角三角形， 又点E 是棱PB 的中点，故AE ⊥PB. 又在矩形ABCD 中，BC ⊥AB ，而AB 是PB 在底面ABCD 内的射影， 由三垂线定理得BC⊥PB ，从而BC⊥平面PAB ， 故BC⊥AE，从而AE ⊥平面PBC ， 故AE 的长即为直线AD与平面PBC的距离． 在Rt △PAB 中，PA=AB= ， 所以 即直线AD与平面PBC的距离为 (2)过点D作DF⊥CE，交CE于F，过点F作FG⊥CE，交AC于G， 则∠DFG为所求二面角的平面角． 由(1)知BC⊥平面PAB， 又AD∥BC，得AD⊥平面PAB， 故AD⊥AE，从而DE= 在Rt△CBE中，CE= 又 ， 所以△CDE为等边三角形， 故点F为CE的中点，且DF=CD· 因为AE⊥平面PBC， 故AE⊥CE， 又FG⊥CE， 所以 ，从而 ， 且点G为AC的中点．连结DC． 则在Rt△ADC中， 所以cos∠DFG= 即二面角A-EC-D的平面角的余弦值为