Question

已知向量 m=(sinA， 1 2 ) 与 n=(3， sinA+ 3 cosA) 共线，其中A是△A...

已知向量 m=(sinA， 1 2 ) 与 n=(3， sinA+ 3 cosA) 共线，其中A是△ABC的内角．（1）求角A的大小；（2）若BC=2，求△ABC面积S的最大值，并判断S取得最大值时△ABC的形状．

Answer 1

（1）因为 m ∥ n ，所以 sinA?(sinA+ 3 cosA)- 3 2 =0 ； 所以 1-cos2A 2 + 3 2 sin2A- 3 2 =0 ， 即 3 2 sin2A- 1 2 cos2A=1 ， 即 sin(2A- π 6 )=1 ． 因为A∈（0，π），所以 2A- π 6 ∈(- π 6 ，   11π 6 ) ． 故 2A- π 6 = π 2 ， A= π 3 ； （2）由余弦定理，得4=b 2 +c 2 -bc． 又 S △ABC = 1 2 bcsinA= 3 4 bc ， 而b 2 +c 2 ≥2bc?bc+4≥2bc?bc≤4，（当且仅当b=c时等号成立） 所以 S △ABC = 1 2 bcsinA= 3 4 bc≤ 3 4 ×4= 3 ； 当△ABC的面积取最大值时，b=c．又 A= π 3 ； 故此时△ABC为等边三角形．