Question

已知函数f（x）=-x2+ax-lnx（a∈R）．（1）求函数f（x）既有极大值又有极小值的充要条件；（2）当函数f（

已知函数f（x）=-x2+ax-lnx（a∈R）．（1）求函数f（x）既有极大值又有极小值的充要条件；（2）当函数f（x）在[12，2]上单调时，求a的取值范围．

Answer 1

（1）∵f′（x）=-2x+a-

1

x

=

?2x2+ax?1

x

（x＞0），
∴f（x）既有极大值又有极小值?方程2x²-ax+1=0有两个不等的正实数根x₁，x₂．（3分）
∴

a 2 ＞0 △＝a2?4×(?2)?(?1)＞0

，
∴a＞2

2

，
∴函数f（x）既有极大值又有极小值的充要条件是a＞2

2

．（6分）
（2）f′（x）=-2x+a-

1

x

，令g（x）=2x+

1

x

（x＞0），
则g′（x）=2-

1

x2

，由g′（x）＜0结合题意得：g（x）在[

1

2

，

2

2

）上递减，
由g′（x）＞0结合题意得：g（x）在（

2

2

，2]上递增．（8分）
又g（

1

2

）=3，g（2）=

9

2

，g（

2

2

）=2

2

，
∴g（x）_max=

9

2

，g（x）_min=2

2

．（10分）
若f（x）在[

1

2

，2]单调递增，则f′（x）≥0即a≥g（x），
∴a≥

9

2

．
若f（x）在[

1

2

，2]单调递减，则f′（x）≤0，即a≤g（x），
∴a≤2

2

．
所以f（x）在[

1

2

，2]上单调时，则a≤2

2

或a≥

9

2

．（13分）