Question

（2013?北塘区一模）如图，在直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形OABC是菱形，点A 的坐标为（3，4），点

（2013?北塘区一模）如图，在直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形OABC是菱形，点A 的坐标为（3，4），点C在x轴的正半轴上，连接AC、OB．（1）求直线AC的解析式；（2）若点P、Q分别是OB、OC上的动点，连接CP、PQ，试探究：CP+PQ是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵A（3，4），
∵OA=

32+42

=5．
又∵四边形OABC是菱形，
∴OC=OA=5，
∴C（5，0）．
设直线AC的解析式为：y=kx+b（k≠0）．则
 

3k+b＝4 5k+b＝0

，
解得，

k＝2 b＝10

，
∴直线AC的解析式为：y=-2x+10；
                                
（2）当点C、P、Q三点共线，且垂直x轴时，CP+PQ最小．
∵四边形OABC是菱形，
∴点A、点C关于直线OB对称，
∴过点A作AQ⊥x轴于点Q，AQ与对角线OB的交点即为点P．
∴CP+PQ=AP+PQ=AQ．
∵点A的坐标为（3，4），
∴AQ=4，即CP+PQ的最小值为4．