求(cos^2x+sin^2y)的二重积分,其中x和y都在［0，派］之间
直线x+y=π将积来分区间分成2部分，左下部分记为D1，右上部分记为D2
则先积D1里的积源分,在D1内,由于x+yπzhidao] dx∫[0--->π-x] sin(x+y) dy
=-∫[0--->π] cos(x+y) |[0--->π-x] dx
=∫[0--->π] (cosx-cosπ) dx
=∫[0--->π] (cosx+1) dx
=sinx+x |[0--->π]
=π
对于D2,ππ] sin(x+y) dy
=∫[0--->π] cos(x+y) |[π-x--->π] dx
=∫[0--->π] (cos(π+x)-cosπ) dx
=∫[0--->π] (-cosx+1) dx
=-sinx+x |[0--->π]
=π
原积分为上面两个相加，结果是2π。
扩展资料：
当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积。
当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积负值。
在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。
参考资料来源：百度百科-二重积分
解答过程如下：
先发y当常数，对x积分，x带入算出来后再对y积分。积分符号的 上下0。
=∫ sin^2y*[x/2-（sin2x）/4]上π下0 dy
=∫π/2*sin^2ydy
=π/2*[y/2-(sin2y)/4]上π下0
=π^2/4
扩展资料
二重积分意义
当被积函数大于零权时，二重积分是柱体的体积。
当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积负值。
几何意义
在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。
例如二重积分：
其中
表示的是以上半球面为顶，半径为a的圆为底面的一个曲顶柱体，这个二重积分即为半球体的体积。
数值意义
二重积分和定积分一样不是函数，而是一个数值。因此若一个连续函数f（x，y）内含有二重积分，对它进行二次积分，这个二重积分的具体数值便可以求解出来。
