Question

求函数的一道题目

已知函数f(x)*g(x)在R上有定义，对任意的X，Y属于R有f(x-y)=f(x)g(y)-g(x)f(y),且f(1)不等于0
1，求F（x）为奇函数
2，如果F（1）=F(2),求G(1)+G(-1)的值

Answer 1

使得 X=y=0 得：f(0)=f(0)g(0)-g(0)f(0)=0
所以：f(1-0)=f(1)g(0)-g(1)f(0)所以g(0)=1
x=0,y=x得：f(0-x)=f(0)g(x)-g(0)f(x)
f(-x)=-f(x) 奇函数

x=1,y=-1时有f(2)=f(1)g(-1)-g(1)f(-1)
因为f(x)是奇函数
所以f(1)=-f(-1)
所以f(2)=f(1)g(-1)-g(1)f(-1)=f(1)[G(1)+G(-1)]
而F（1）=F(2)
故G(1)+G(-1)=1

Answer 2

当x，y等于1时，得f（0）=0

Answer 3

1、令：x=y=0 得：f(0)=f(0)g(0)-g(0)f(0)=0
x=1,y=0得：f(1-0)=f(1)g(0)-g(1)f(0)所以g(0)=1
再令：x=0,y=x得：f(0-x)=f(0)g(x)-g(0)f(x)
所以f(-x)=-f(x) 奇函数

Answer 4

x=y时有f(0)=f(x)g(x)-g(x)f(x)=0
x=1，y=0时有f(1-0)=f(1)g(0)-g(1)f(0)，故g(0)=1
x=0，y=x是有：f(0-x)=f(0)g(x)-g(0)f(x)，故f(-x)=-f(x)
故f(x)为奇函数

x=1,y=-1时有f(2)=f(1)g(-1)-g(1)f(-1)
因为f(x)是奇函数
所以f(1)=-f(-1)
所以f(2)=f(1)g(-1)-g(1)f(-1)=f(1)[G(1)+G(-1)]
而F（1）=F(2)
故G(1)+G(-1)=1