Question

高等数学间断点问题。若X=a为函数的第一类间断点，则函数在a点一定有定义吗

Answer 1

第一类间断点处不一定有定义。
凡是左右极限都存在的间断点，就是第一类间断点。从这句话可知：第一类间断点并未明确指出在该点处有无定义。只要在该点处的左右极限存在即可。

Answer 2

（I）因为抛物线C1：x^2=4y上任意一点（x，y）的切线斜率为y′=x/2,且切线MA的斜率为-1/2
，所以A点的坐标为（-1，1/4)，故切线MA的方程为y=-1/2(x+1)+1/4
因为点M（1-√2，y0)在切线MA及抛物线C2上，于是
y0=-(1/2)(2-√2)+1/4=-(3-2√2)/4①
y0=-(1-√2)^2/2p=-(3-2√2)/2p②
由①②解得p=2
（II）设N（x，y），A（x1，x1^2/4),B(x2,x2^2/4)，x1≠x2，
由N为线段AB中点知x=(x1+x2)/2,③，y=(y1+y2)/2=(x1^2+x2^2)/8④
切线MA，MB的方程为y=x1/2(x-x1)+x1^2/4⑤，y=x2/2(x-x2)+x2^2/4⑥
由⑤⑥得MA，MB的交点M（x0，y0）的坐标满足x0=（x1+x2）/2,y0=x1x2/4
因为点M（x0，y0）在C2上，即x0^2=-4y0，所以x1x2=-(x1^2+x2^2)/6⑦
由③④⑦得x^2=4y/3，x≠0
当x1=x2时，A，B丙点重合于原点O，A，B中点N为O，坐标满足x^2=4y/3
因此中点N的轨迹方程为x^y=4y/32

Answer 3

若X=a为函数的第一类间断点，则函数在a点不一定有定义。