Question

23第3问，答案说x0若是第一类间断点，则导函数在x=x0连续。可是原函数在区间可导不是只能说明区

23第3问，答案说x0若是第一类间断点，则导函数在x=x0连续。可是原函数在区间可导不是只能说明区间内某一点左导数等于右导数吗？在线等求详细解答。





Answer 1

你看错了吧。
看图片上的说法是，x0如果是f'（x）的第一类间断点，则f（x）在x0连续
如果x0是f'（x）的第二类间断点，则f（x）在x0不连续。
和你刚才说的相反。是说导函数的第一类间断点处，原函数连续。
导函数的第二类间断点处，原函数不连续。
导函数的第一类间断点处，说明原函数在该点的左右导数都存在（可以不相等），既然原函数的左右导数都存在，那么原函数在该点左右都连续。所以原函数在该点连续。
导函数的第二类间断点处，说明原函数在该点至少有一个单边导数不存在，单边导数不存在，则此单边不连续，所以原函数在该点不连续。

追问

没看错啊

答案上说f（X)的导数在x0连续啊

追答

感觉此题有些问题。
此题的意思是说，f（x）在（a，b）内可导，那么f'（x）在（a，b）内只可能存在第二类间断点，不可能存在第一类间断点。
感觉题目说的是这个意思。
但是如果存在第二类间断点，即x0∈（a，b），且x=x0的时候，lim（x→x0）f'（x）极限为无穷大，这说明f（x）在x0点不可导。这和f（x）在（a，b）内可导矛盾。
所以感觉此题有问题。
如果此题将f（x）在（a，b）内可导改为f（x）在（a，b）内处处都有切线。那么这道题就不矛盾了。
既然有切线，如果切线不垂直于x轴，则导数存在，是导函数的连续点。
如果切线垂直于x轴，则斜率不存在，则导数趋近于∞，是导函数的无穷间断点。
由此可知有切线不代表可导。

追问

我也不懂，可是若是有间断点，而且存在原函数的话，它就一定是第2类间断点，大哥，这个是结论啊

你不能怀疑结论啊，但是谢谢你的解答

一般的反例就是f(X)=x^2（1/cosx）在定义域可导，但是倒函数在x=0是不连续的啊

追答

如果导函数在x=0点不连续，那么请问这个在定义域内可导的f(X)=x^2（1/cosx）在x=0点的导数是多少？

我当然明白，某个有原函数的函数有间断点，则必然是第二类间断点。这个道理我是明白的。
例如函数y=x的立方根，其导函数是y=1/3*x^（-2/3），其导函数在x=0点是间断点，不连续，是无穷间断点。同时也是y=x的立方根在x=0点不可导（有切线，但是切线是y轴，垂直于x轴）
所以对于y=x的立方根这话函数，我们不能说在（-∞，+∞）区间内可导，这个函数在x=0点就是不可导的。在导函数的无穷间断点处就是不可导的。
所以这个提问就是矛盾的。就算是书上的，就算是书上的结论，矛盾还是矛盾，该怀疑的，还是需要怀疑。
不久前就做过几个书上答案完全错误的题目，很正常。毕竟书，也是人写的，不是神写的。尽信书，不如无书，这句老祖宗的话，是没错的。

追问

上面还有个条件，x=0时f(X)=0，x=0时左导数等于右导数等于0，所以它在x=0是可导的呀

但是在该点导数为什么连续正是我要问的问题啊

导数的左极限右极限不存在，就不连续啊

追答

说实在的，我没想出来，什么样的函数在x0点可导，但是其导函数在x0点不连续。
记得有这样的定理：
定理1、在区间[a，b]只有限个第一类间断点的函数，在该区间可以求定积分。
定理2、在区间[a，b]只有限个第二类间断点的函数，在该区间可以求不定积分。
好像是有定理2吧。
所以有第一类间断点的函数，是没有不定积分的，即没有原函数的。所以也就不存在某个函数在x0点可导，但其导函数在x0点是第一类间断点的情况。
但是有第二类间断点的函数是有不定积分的，即有原函数的。所以存在某个函数的导函数有第二类间断点。但是同时该函数在这个点处是不可导的，不管该函数在该点是否连续。