Question

求问高数极限的一道题，谢谢。

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Answer 1

　　证明：
　　设数列为{An}，显然A(n+1)=√(2+An)＞0
　　①：有界。数学归纳法：A1＜2，假设Ak＜2，则A（k+1）=√（2+Ak）＜√（2+2） =2成立
　　 故0＜An＜2，有界；
　　②：单调。A（n+1）=√（2+An）＞√（An+An）=√2An＞An
　　故A（n+1）＞An，单调增；
　　由①②，根据单调有界数列极限判定准则，知该数列极限存在，设为A，
　　等式两侧同取极限：即
　　limAn=lim√(2+An-1)
　　√（2+A）=A。解出A=2或者A=-1（＜0，舍去，此处用到了极限保号性）。
　　因此极限就是2.

追问

为什么能设ak＜2？

追答

这就是数学归纳法啊，第一项我们已知A1<2，那么我们就先假设Ak<2，如果A(k+1)也小于2，就说明假设成立，否则假设错误！既然是假设，那就没有能与不能了！