Question

如图，已知圆O的直径AB＝4，定直线l到圆心的距离为4，且直线l⊥直线AB。点P是圆O上异于A、B的任意一点，直

如图，已知圆O的直径AB＝4，定直线l到圆心的距离为4，且直线l⊥直线AB。点P是圆O上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别交l与M、N点，试建立适当的直角坐标系，解决下列问题．
（1）若∠PAB＝30°，求以MN为直径的圆方程；
（2）当点P变化时，求证：以MN为直径的圆必过圆O内的一定点．
图

Answer 1

1）设P为圆O上的一点，若∠PAB＝30°，那么∠PNM=∠PAB=30度，所以直线NP的斜率=（180度-∠PNM）角的正切值=-30度角的正切值=-（根号下3）/3，因为直线NP过点B（0，6），所以直线NP的方程为：Y-6=[-（根号下3）/3]*X，在此方程中，令Y=0，则X=6倍的根号下3，故N点的坐标为（6倍的根号下3，0），同理可得M点的坐标为[-2*（根号下3）/3，0]，故以MN为直径的圆的圆心坐标为（8倍的根号下3/3，0），半径=10倍的根号下3/3，所以以MN为直径的圆的方程为：（X-8倍的根号下3/3）的方+Y的方=（10倍的根号下3/3）的方。
（2）当点P变化时，设以MN为直径的圆必过一定点T（U，V），依题意直线MT一定经过点A（0，2），设直线MT的斜率为K，则直线MT的方程为：Y-2=KX，在这个方程中，令Y=0，则X=-K/2，故M点的坐标为（-2/K，0），同理可得N点的坐标为（6K，0），因为点T（U，V）在以MN为直径的圆上，向量MT=（U+2/K，V），向量NT=（U-6K，V），所以向量MT*向量NT=（U+2/K）*（U-6K）+V的方=0，即：（-6*U）*K的方+（U的方+V的方-12）*K+2*U=0，所以：-6*U=0，U的方+V的方-12=0，2*U=0，解以上三式得：U=0，V=2倍的根号下3（V只取正值）。现在来证明T（U，V）必在圆O内，在圆O的方程X的方+（Y-4）的方=4中，以X=U=0代入得，Y=6，Y=2，因为2< V=2倍的根号下3< 6，所以点T（0，2倍的根号下3）必在圆O内。