Question

已知f(x)是定义在R上的函数,对于任意m,n属于R恒有f(m+n)=f(m)+f(n).

接题目。
当x>0时，f(x)<0恒成立且f(1)=-2,判断f(x)的奇偶性和单调性。

Answer 1

f(m+0)=f(m)+f(0) 所以 f(0)=0
（1）f(m-m)=f(m)+f(-m)=f(0)=0
即f(x)+f(-x)=0,又定义域是R
所以f(x)是奇函数

（2）任取X1,x2属于R，且x1>x2，则：
f(x1)-f(x2)
= f(x1)+f(-x2) (奇函数)
= f(x1-x2) (f(m)+f(n)=f(m+n))
由于：x1>x2， 则 x1-x2>0
又：当x>0 时，f(x)<0 则：f(x1-x2)<0
即：对任意x1>x2，且x1,x2属于R，恒有 f(x1)<f(x2)
故：f(x)是R上的减函数

Answer 2

任意取m，而n取0时有：
f(m+0)=f(m)+f(0)即
f(m)=f(m)+f(0)
所以得f(0)=0
取n=-m时，有：
f(m-m)=f(m)+f(-m)即：
f(0)=f(m)+f(-m)=0
故f(x)是一个奇函数

任意取x2,x1属于R且x2>x1
得dx=x2-x1>0;
令m=x1,n=dx,即m+n=x2有：
f(m+n)=f(x2);
f(m)+f(n)=f(x1)+f(dx)有：
f(x2)=f(x1)+f(dx),可得：
f(x2)-f(x1)=f(dx)<0
所以函数f(x)在R上单调递减