Question

设f（x）是定义在R上的函数，对m，n∈R恒有f（m+n）=f（m）?f（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1．（1）求

设f（x）是定义在R上的函数，对m，n∈R恒有f（m+n）=f（m）?f（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1．（1）求证：f（0）=1；（2）求证：当x∈R时，恒有f（x）＞0；（3）求证：f（x）在R上是减函数．

Answer 1

证明：（1）∵m，n∈R恒有f（m+n）=f（m）?f（n）， 令m=0 则f（n）=f（0）?f（n）， 则f（0）=1 （2）由（1）中结论可得： 令m=-n 则f（0）=f（-n）?f（n）=1， ∴f（x）与f（-x）互为倒数， ∵当x＞0时，0＜f（x）＜1， ∴当x＜0时，f（x）＞1， 又由x=0时，f（0）=1 故当x∈R时，恒有f（x）＞0； （3）设x 1 ＞x 2 ， ∴f（x 1 ）=f（x 2 +（x 1 -x 2 ））=f（x 2 ）?f（x 1 -x 2 ） 由（2）知当x∈R时，恒有f（x）＞0， 所以 f(x 1 ) f(x 2 ) =f（x 1 -x 2 ）＜1 所以f（x 1 ）＜f（x 2 ） ∴f（x）在R上是减函数