Question

这个函数的极限不存在，是趋向于无穷？

Answer 1

首先，当x→0的时候，分母及分子正弦符号内的部分xsin（1/x）的极限是0，根据是当x→0的时候，x是无穷小，sin（1/x）的绝对值小于等于1是有界函数，所以lim（x→0）（xsin（1/x））=0
所以令t=xsin（1/x），则原极限=lim（t→0）（sint/t）。而当t→0时，sint和t是典型的等价无穷小，所以原极限=lim（t→0）（sint/t）=1

追问

我都说了，答案是极限不存在

这种解法忽略了t为0的时候，在x趋向于0的时候，t可能为0，分母为0这个函数无意义，所以这种解法不对

追答

你是完全错误的理解了极限的含义，极限是指函数的自变量（如x）趋近于某个值（如0）的过程中，函数值的变化趋势。所以x趋近于0这点的极限是与x在0附近变化有关，和函数在x=0这点的函数值或是否有定义无关。
例如函数f（x）=x/x，很明显，x=0这点，函数是无定义的。但是在x=0这点附近，当x趋近于0时，函数值的变化趋势都是趋近于1，所以f（x）=x/x在x=0这点的极限就是等于1，尽管它在x=0这点无定义。
所以你说的分母为0，所以极限无意义，不存在是根本就没理解极限的含义，没记住极限的定义的实质。

追问

你理解错了我的意思，我知道极限的定义x趋向于0是指在x在0附近时函数值的趋向，跟x=0处无关，但是，我说的是在x趋向于0的过程中，xsin(1/x)这个整体会无数次取到0，而这个整体在分母上，所以在x趋向于0的过程中，函数并非处处有定义

追答

好吧，感觉你说的有道理，考虑得更仔细。确实像你说的，对于这个函数而言，无论怎么取正数k，在x=0的去心邻域（-k，k）中都无法保持每一点都有定义。无法找到x=0的某个去心邻域内点都有函数值。应该是没极限而不会是无穷大，无法使用极限定义。还是你细心些。

追问

哈哈，这倒不是我细心，我是无意中看了个高数的视频，老师讲到这个题，说答案是1的都不对，然后说了原因，只说极限不存在，没解释是怎么个不存在法，所以我来这里问问，到底是怎么个不存在法，极限不存在有好几种情况，比如趋于无穷或者是左极限不等于右极限…… 那这种情况是怎么着呢？

追答

根据你说的，我对比了一下极限的定义。
设f（x）在x=x0的某个去心邻域内有定义，如果存在常数a，对于任意给定的正数k，总存在正数m使得当0＜|x-x0|＜m时，对应的函数值都满足|f（x）-a|＜k，则把a称为当x→x0时，f（x）的极限。

从定义可以看出来，要使得f（x）在x0这点有极限，必须要能找到x0点的某个去心邻域中f（x）都有定义。但是对于图片上的函数，x=0这点的任何去心邻域中，都能找到无数个无定义的点。所以不满足极限定义中x=x0的某个去心邻域内有定义的要求。所以确实应该是无极限。这个无极限是左极限也没有，右极限也没有。也不是无穷大，因为极限是无穷大也必须满足x=x0的某个去心邻域内有定义的要求。

追问

有道理，多谢同学详查！

Answer 2

分子和分母都趋向於0，就像0.1/0.1=1,所以答案是1

追问

1不对

Answer 3

这是趋向于0

追答

因为sin（x/1）最大值是1，最小值是—1，x是极小值 极小值乘以有限值是0

所以x*sin（x/1）还是趋向于0

Answer 4

存在，趋于1

追问

不对

趋向于一是错的