Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．求证：（Ⅰ

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．求证：（Ⅰ）CD⊥AE；（Ⅱ）PD⊥平面ABE．

Answer 1

证明：（Ⅰ）∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD，又AC⊥CD，PA∩AC=A， 故CD⊥平面PAC． 又AE?平面PAC，∴CD⊥AE． （Ⅱ）由题意：AB⊥AD， ∴AB⊥平面PAD，从而AB⊥PD． 又AB=BC，且∠ABC=60°， ∴AC=AB，从而AC=PA． 又E为PC之中点，∴AE⊥PC． 由（Ⅰ）知：AE⊥CD，∴AE⊥平面PCD，从而AE⊥PD． 又AB∩AE=A， 故PD⊥平面ABE．