Question

已知函数f（x）=alnx+bx（a，b∈R）在点（1，f（1））处的切线方程为x-2y-2=0．（1）求a，b的值；（2）当

已知函数f（x）=alnx+bx（a，b∈R）在点（1，f（1））处的切线方程为x-2y-2=0．（1）求a，b的值；（2）当x＞1时，f（x）+kx＜0恒成立，求实数k的取值范围；（3）证明：当n∈N*，且n≥2时，12ln2+13ln3+…+1nlnn＞3n2?n?22n2+2n．

Answer 1

（1）解：∵f（x）=alnx+bx，∴f′（x）=

a

x

+b．
∵直线x-2y-2=0的斜率为0.5，且过点（1，-0.5），…（1分）
∴f（1）=-0.5，f′（1）=0.5
解得a=1，b=-0.5．…（3分）
（2）解：由（1）得f（x）=lnx-0.5x．
当x＞1时，f（x）+

k

x

＜0恒成立，等价于k＜0.5x²-xlnx．…（4分）
令g（x）=0.5x²-xlnx，则g′（x）=x-1-lnx．…（5分）
令h（x）=x-1-lnx，则h′（x）=

x?1

x

．
当x＞1时，h′（x）＞0，函数h（x）在（1，+∞）上单调递增，
故h（x）＞h（1）=0…（6分）
从而，当x＞1时，g′（x）＞0，即函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，
故g（x）＞g（1）=0.5．…（7分）
∴k≤0.5．…（9分）
（3）证明：由（2）得，当x＞1时，lnx-0.5x+

1

2x

＜0，可化为xlnx＜

x2?1

2

，…（10分）
又xlnx＞0，
从而，

1

xlnx

＞

2

x2?1

=

1

x?1

-

1

x+1

．…（11分）
把x=1，2，…n分别代入上面不等式，并相加得，

1

2ln2

+

1

3ln3

+…+

1

nlnn

＞1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+…+

1

n?1

-

1

n+1

=1+

1

2

-

1

n

-

1

n+1

=

3n2?n?2

2n2+2n

．…（14分）