Question

设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续在(0,1)内可导且f(0)=f(1)=1,证明在(0,1)内至少存

设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=f(1)=1,证明在(0,1)内至少存一点ζ，使得f′（ζ）+f(ζ)=1

Answer 1

考虑e^x(f(x)-1)，在闭区间[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且e^0(f(0)-1)=e^1(f(1)-1)=0，故在(0,1)内至少存一点ζ，使得
((e^x(f(x)-1))'|x=ζ)=0，
即
e^ζ(f(ζ)+f'(ζ)-1)=0，
即
f(ζ)+f'(ζ)=1。