Question

在边长为1的正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆在正方形内的圆弧上的任意一点，设向

在边长为1的正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆在正方形内的圆弧上的任意一点，设向量 AC =λ DE +μ AP ．（Ⅰ）求点（μ，λ）的轨迹方程（不需限制变量取值范围）；（Ⅱ）求λ+μ的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）如图， 以A为原点，以AB所在的为x轴，建立坐标系，设正方形ABCD的边长为1， 设E（ 1 2 ，0），C（1，1），D（0，1），A（0，0）． 设P（cosθ，sinθ），∴ AC =（1，1）． 由向量 AC =λ DE +μ AP =λ（ 1 2 ，-1）+μ（cosθ，sinθ） =（ λ 2 +μcosθ，-λ+μsinθ）=（1，1）， ∴ λ 2 +μcosθ=1，-λ+μsinθ=1， 即 μcosθ=1- λ 2 ①， μsinθ=1+λ ②． ① 2 +② 2 得：5λ 2 +4λ-4μ 2 +8=0； （Ⅱ）由 λ 2 +μcosθ=1，-λ+μsinθ=1， ∴ λ= 2sinθ-2cosθ sinθ+2cosθ μ= 3 sinθ+2cosθ ， ∴λ+μ= 2sinθ-2cosθ+3 sinθ+2cosθ ， 由题意可知：0≤θ≤ π 2 ，∴0≤sinθ≤1，0≤cosθ≤1， ∴当cosθ取得最大值1时，同时sinθ取得最小值0，这时λ+μ取最小值为 0-2+3 0+2 = 1 2 ． ∴λ+μ的最小值为 1 2 ．