Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2an-n，（n∈N*）（Ⅰ）求a1，a2，a3的值；（Ⅱ）求数列{an}的通项

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2an-n，（n∈N*）（Ⅰ）求a1，a2，a3的值；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；（Ⅲ）若bn=（2n+1）an+2n+1，数列{bn}的前n项和为Tn，求满足不等式Tn?22n?1≥128的最小n值．

Answer 1

（1）因为S_n=2a_n-n，令n=1
解得a₁=1，再分别令n=2，n=3，解得a₂=3，a₃=7．
（2）因为S_n=2a_n-n，所以S_n-1=2a_n-1-（n-1），n≥2，n∈N^*
两式相减得a_n=2a_n-1+1
所以a_n+1=2（a_n-1+1），n≥2，n∈N^*
又因为a₁+1=2，所以a_n+1是首项为2，公比为2的等比数列
所以a_n+1=2ⁿ，所以a_n=2ⁿ-1．
（3）因为b_n=（2n+1）a_n+2n+1，
所以b_n=（2n+1）?2ⁿ
所以T_n=3×2+5×2²+7×2³+…+（2n-1）?2^n-1+（2n+1）?2ⁿ①
2T_n=3×2²+5×2³+…+（2n-1）?2ⁿ+（2n+1）?2ⁿ②
①-②得：-T_n=3×2+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n+1）?2ⁿ⁺¹
=6+2×

4?2n× 2

1?2

?(2n+1)?2n+1
=-2-（2n-1）?2ⁿ⁺¹
所以T_n=2+（2n-1）?2ⁿ⁺¹
若

Tn?2

2n?1

≥128
则

2+(2n?1)?2n+1?2

2n?1

≥128
即2ⁿ⁺¹＞2⁷，解得n≥6，
所以满足不等式

Tn?2

2n?1

≥128的最小n值6．