Question

设函数f（x）=kax-a-x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数；（1）若f（1）＞0，判断f（x）的单调性并求不

设函数f（x）=kax-a-x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数；（1）若f（1）＞0，判断f（x）的单调性并求不等式f（x+2）+f（x-4）＞0的解集；（2）若f（1）=32，且g（x）=a2x+a-2x-4f（x），求g（x）在[1，+∞）上的最小值．

Answer 1

函数f（x）=ka^x-a^-x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数，可得f（0）=0，从而得k-1=0，即k=1．
（1）由f（1）＞0可得a-

1

a

＞0，解得a＞1，所以f（x）=a^x-a^-x是增函数，
由f（x+2）+f（x-4）＞0可得f（x+2）＞-f（x-4）=f（4-x），
所以x+2＞4-x，解得x＞3，
即不等式的解集是（3，+∞）．
（2）f（1）=

3

2

得a-

1

a

=

3

2

，解得a=2，故g（x）=2^2x+2^-2x-4 （2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）²-4（2^x-2^-x）+2，
令t=2^x-2^-x，它在[1，+∞）上是增函数，故t≥

3

2

，即g（x）=t2?4t+2，t≥

3

2

．
此函数的对称轴是t=2≥

3

2

，故最小值为2²-4×2+2=-2．