Question

在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ

在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ=6cosθ（ρ＞0），设A，B两点的极坐标依次分别为（2，-π4）和（4，π4）．（Ⅰ）求线段AB的长及曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线OA与曲线C的另一个交点为P，过点P作直线AB的垂线l，求直线l的方程．

Answer 1

（I）由A，B两点的极坐标依次分别为（2，-

π

4

）和（4，

π

4

）．
可得∠AOB=90°，∴|AB|＝

22+42

=2

5

．
由曲线C的极坐标方程ρ=6cosθ（ρ＞0）可得ρ²=6ρcosθ，∴x²+y²=6x，
化为（x-3）²+y²=9，可得圆心C（3，0），半径r=3．
（II）由A的极坐标(2，?

π

4

)化为直角坐标(2cos(?

π

4

)，2sin(?

π

4

))，即(

2

，?

2

)．
同理可得B(2

2

，2

2

)．
∴直线OA的方程为：y=-x．
联立

y＝?x x2+y2?6x＝0

解得

x＝0 y＝0

或

x＝3 y＝?3

，得到P（3，-3）．
∵kAB＝

? 2 ?2 2

2 ?2 2

=3，l⊥AB，
∴kl＝

?1

kAB

=?

1

3

．
直线l的方程为y+3＝?

1

3

(x?3)，化为x+3y+6=0．