Question

关于初一下数学的几何证明题！越多越好！！

Answer 1

1.已知在三角形ABC中，BE,CF分别是角平分线，D是EF中点，若D到三角形三边BC,AB,AC的距离分别为x,y,z，求证：x=y+z

证明;过E点分别作AB,BC上的高交AB,BC于M,N点.
过F点分别作AC,BC上的高交于P,Q点.
根据角平分线上的点到角的2边距离相等可以知道FQ=FP,EM=EN.
过D点做BC上的高交BC于O点.
过D点作AB上的高交AB于H点,过D点作AB上的高交AC于J点.
则X=DO,Y=HY,Z=DJ.
因为D 是中点,角ANE=角AHD=90度.所以HD平行ME，ME=2HD
同理可证FP＝2DJ。
又因为FQ=FP,EM=EN.
FQ＝2DJ，EN＝2HD。
又因为角FQC，DOC，ENC都是90度，所以四边形FQNE是直角梯形，而D是中点，所以2DO＝FQ＋EN
又因为
FQ＝2DJ，EN＝2HD。所以DO＝HD＋JD。
因为X=DO,Y=HY,Z=DJ.所以x=y+z。

2.在正五边形ABCDE中,M、N分别是DE、EA上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=108°，请问结论BM=CN是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由。

解答：当∠BON=108°时。BM=CN还成立
证明；如图5连结BD、CE.
在△BCI)和△CDE中
∵BC=CD, ∠BCD=∠CDE=108°,CD=DE
∴ΔBCD≌ ΔCDE
∴BD=CE , ∠BDC=∠CED, ∠DBC=∠CEN
∵∠CDE=∠DEC=108°, ∴∠BDM=∠CEN
∵∠OBC+∠ECD=108°, ∠OCB+∠OCD=108°
∴∠MBC=∠NCD
又∵∠DBC=∠ECD=36°, ∴∠DBM=∠ECN
∴ΔBDM≌ ΔCNE ∴BM=CN

3.三角形ABC中，AB=AC,角A=58°，AB的垂直平分线交AC与N，则角NBC=( )

答案：3°
因为AB=AC，∠A=58°，所以∠B=61°，∠C=61°。
因为AB的垂直平分线交AC于N，设交AB于点D，一个角相等，两个边相等。所以，Rt△ADN全等于Rt△BDN
所以 ∠NBD=58°，所以∠NBC=61°-58°=3°

4.在正方形ABCD中，P，Q分别为BC，CD边上的点。且角PAQ＝45°，求证：PQ＝PB＋DQ

证明：
延长CB到M，使BM=DQ，连接MA
∵MB=DQ AB=AD ∠ABM=∠D=RT∠
∴三角形AMB≌三角形AQD
∴AM=AQ ∠MAB=∠DAQ
∴∠MAP=∠MAB+∠PAB=45度=∠PAQ
∵∠MAP=∠PAQ
AM=AQ AP为公共边
∴三角形AMP≌三角形AQP
∴MP=PQ
∴MB+PB=PQ
∴PQ=PB+DQ

5.正方形ABCD中,点M,N分别在AB,BC上,且BM=BN,BP⊥MC于点P,求证DP⊥NP

证明：
∵直角△BMP∽△CBP
∴PB/PC=MB/BC
∵MB=BN
正方形BC=DC
∴PB/PC=BN/CD
∵∠PBC=∠PCD
∴△PBN∽△PCD
∴∠BPN=∠CPD
∵BP⊥MC
∴∠BPN+∠NPC=90°
∴∠CPD+∠NPC=90°
∴DP⊥NP

6.在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，D，G分别为AB，AC的中点，I为DG上一点，IH⊥BC，垂足为H，连AI延长叫BC于E，连BI延长交AC于F，记∠CAE为∠1，∠CBF为∠2.
当∠1等于∠2时，求证：DG等于DH

证明：
法【1】连接IC, 先证明AI=CI
因为D,G分别为AB, AC的中点，
∴DG‖BC，∠AGD＝∠ACB=90°（注：‖为“平行于”）
∠AGI=∠CGI=90°
又AG=CG, GI=GI, 由全等三角形的边角边定理得
△AGI全等于△CGI
∴ AI=CI
当∠1=∠2时（即∠CAE=∠CBF）时，
∵△AGI全等于△CGI
∴∠ICG=∠IAG=∠1=∠2=∠CBI (1)
又∵DG‖BC，由内错角相等得：
∠GIC=∠BCI (2)
由(1)、(2)两式得△ICG与△CBI中有两个角相等，
∴△ICG∽△CBI，
由相似三角形的对应边成比例得：
IC/IG=CB/CI
∴IC^2=BC*GI (3)
IH⊥BC，DG‖BC
∴IH⊥DG，由勾股定理得：
DH^2=IH^2+DI^2
=GC^2+(DG-GI)^2
=GC^2+GI^2-2*DG*GI+DG^2
=IC^2-2*DG*GI+DG^2 (4)
将(3)式以及2*DG=BC代入(4)式得
DH^2=BC*GI-2*DG*GI+DG^2
=BC*GI-BC*GI+DG^2
=DG^2作BC的中点K，连结KD、KI、CI
∴KD‖AC‖HI
∵ID‖HK，∠IHB＝90°
∴四边形HIDK是矩形
∴KI＝DH
∵DG‖BC，AG＝CG
∴AI＝IE(经过三角形一边的中点与另一边平行的直线一定平分第三边)
∴CI＝1/2AE＝AI
∴∠ACI＝∠1＝∠2
∵∠2＋∠CFI＝90°
∴∠ACI＋∠CFI＝90°
∴∠CIF＝90°
∴KI＝1/2BC
∵DG是△ABC的中位线
∴DG＝1/2BC
∴DG＝KI＝DH
∴DG=DH

法【2】作BC的中点K，连结KD、KI、CI
∴KD‖AC‖HI
∵ID‖HK，∠IHB＝90°
∴四边形HIDK是矩形
∴KI＝DH
∵DG‖BC，AG＝CG
∴AI＝IE(经过三角形一边的中点与另一边平行的直线一定平分第三边)
∴CI＝1/2AE＝AI
∴∠ACI＝∠1＝∠2
∵∠2＋∠CFI＝90°
∴∠ACI＋∠CFI＝90°
∴∠CIF＝90°
∴KI＝1/2BC
∵DG是△ABC的中位线
∴DG＝1/2BC
∴DG＝KI＝DH

7.在四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=60°∠BCD=120°，求证BC+DC=AC

证明：
延长DC至点E，使CE=BC, 连结BC ∠BCD=120° ∠BCE=180°-∠BCD=60° BC=CE三角形BCE是等边三角形∠CBE=60° BC=BE=CEAB=AD，∠BAD=60°三角形ABD是等边三角形AB=BD∠ABD=60°=∠CBE∠ABC=∠EBDAB=BD,BC=BE三角形ABC≌三角形DBEAC=DEDE=CD+CE=CD+BCAC=CD+BC

Answer 2

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