Question

几何题一道

用集合的方法得到平面上的点和立体上的一样多的结论，那么平面上的线（包括直线段、射线、闭合曲线、不闭合曲线）和立体上的线那个多呢？并请给出证明。

Answer 1

这个“一样多”没有定义。如果是指存在集合论中的“单全映射”，（集合论中

叫“等势”），那么。你的问题的答案是肯定的。它们都与C等势（C是“实数集

合”的“势”，叫“连续统”），至于证明，有许多具体的方法，但是都不是

几句话能够说清楚的，最直观也最容易接受的说法（不是证明！）是。把线段

想象成可以无限拉伸的橡皮筋。通过它，可以把这些“线”上的点，都一一对应

起来。

这里有一点要说说：无限集合的特征，就是能够与自己的真子集““等势”。

当然，如果你的“一样多”是别的什么意思，那就等你把意思说清楚了再谈吧。