Question

一个三位数能不能被三整除,只要看这个数的各位数字的和能不能被三整除,这是为什么呢？四位数能否被三整

一个三位数能不能被三整除,只要看这个数的各位数字的和能不能被三整除,这是为什么呢？四位数能否被三整除？是否也有这样的规律？你还能得到哪些结论？

Answer 1

一个n位数，各位数字的和除以3或9的余数=这个n位数除以3或9的余数。余数为0就是整除。
证明：n位数=A(n)×10^(n-1)+......+A(3)×100+A(2)×10+A(1)
=[A(n)×999......9共(n-1)个9+A(n)]+......+[A(3)×99+A(3)]+[A(2)×9+A(2)]+A(1)
=[A(n)×999......9共(n-1)个9+......+A(3)×99+A(2)×9]+[A(n)+......+A(3)+A(2)+A(1)]
[A(n)×999......9共(n-1)个9+......+A(3)×99+A(2)×9]是9的倍数，也是3的倍数，所以，
n位数的各位数字的和[A(n)+......+A(3)+A(2)+A(1)]除以3或9的余数，就等于n位数=A(n)×10^(n-1)+......+A(3)×100+A(2)×10+A(1)除以3或9的余数。
例如：38962=3×10000+8×1000+9×100+6×10+2=3×9999+3+8×999+8+9×99+9+6×9+6+2
=（3×9999+8×999+9×99+6×9）+（3+8+9+6+2）
（3×9999+8×999+9×99+6×9）是9的倍数也是3的倍数，38962除以3或9的余数=（3+8+9+6+2）除以3或9的余数。
（3+8+9+6+2）除以3的余数=1，所以38962除以3的余数=1.
（3+8+9+6+2）除以9的余数=1，所以38962除以9的余数=1.

Answer 2

一个自然数被3整除判别准则是它的各位上的数字和能被3整除；一个自然数被9整除的判别准则是它的各位上的数字和能被9整除。
为什么会有这么简单的准则呢？因为如果a0、a1、a2、a3、…分别是自然数A的个位、十位、百位、千位……上的数字，那么
　　A=a0+10a+10^2
a2+10^3
a3……
　　=[（10-1）a1+（10^2-1）a2+(10^3-1)a3+……]+(a0+a1+a2+a3+……)。
容易验算，10^n-1（n是自然数）都是3和9的倍数，所以上式最后一行中括号中的数是3和9的倍数。由此得出结论，A是不是3或9的倍数，只要看A的数字和a0+a1+a2+a3+…是不是3或9的倍数。