Question

已知函数f（x）= x 3 - 3 2 ax 2 +b （a，b为实数，且a＞1）在区间[-1，1]上的最大值为

已知函数f（x）= x 3 - 3 2 ax 2 +b （a，b为实数，且a＞1）在区间[-1，1]上的最大值为1，最小值为-2．（1）求f（x）的解析式；（2）若函数g（x）=f（x）-mx在区间[-2，2]上为减函数，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）f′（x）=3x 2 -3ax， 令f′（x）=0，得x 1 =0，x 2 =a， ∵a＞1， ∴f（x）在[-1，0]上为增函数，在[0，1]上为减函数． ∴f（0）=b=1， ∵f（-1）=- 3 2 a，f（1）=2- 3 2 a， ∴f（-1）＜f（1）， ∴f（-1）=- 3 2 a=-2，a= 4 3 ． ∴f（x）=x 3 -2x 2 +1． （2）g（x）=x 3 -2x 2 -mx+1，g′（x）=3x 2 -4x-m． 由g（x）在[-2，2]上为减函数，知g′（x）≤0在x∈[-2，2]上恒成立． ∴ g′(-2)≤0 g′(2)≤0 ，即 20-m≤0 4-m≤0 ∴m≥20． ∴实数m的取值范围是m≥20．