Question

(本小题满分12分)如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，且CD=2AB

(本小题满分12分)如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，且CD=2AB． （1）若AB=AD= ,直线PB与CD所成角为 ，①求四棱锥P－ABCD的体积；②求二面角P－CD－B的大小；（2）若E为线段PC上一点，试确定E点的位置，使得平面EBD垂直于平面ABCD，并说明理由．

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Answer 1

（1）(1)V P －ABCD = ·PA·S ABCD = a 3 ．(2)二面角P－CD－B为45 0 ． (2) 当点E在线段PC上，且满足PE ：EC="2" ：1时，平面EBD垂直于平面ABCD．见解析。

试题分析： (1)∵AB∥CD，∴∠PBA是PB与CD所成角， 从而可以得到V P －ABCD = ·PA·S ABCD = a 3 ，又因为 ∵AB⊥AD，CD∥AB∴CD⊥AD 又PA⊥底面ABCD∴∠PDA是二面角P－CD－B的平面角，进而解得。 (2) 当点E在线段PC上，且满足PE ：EC="2" ：1时，平面EBD垂直于平面ABCD． 结合猜想，运用面面垂直判定定理得到。 （1）∵AB∥CD，∴∠PBA是PB与CD所成角， 即∠PBA=45 0 ， ∴在直角△PAB中，PA=AB=a  (1)V P －ABCD = ·PA·S ABCD = a 3 ． (2)∵AB⊥AD，CD∥AB ∴CD⊥AD 又PA⊥底面ABCD ∴PA⊥CD ∴CD⊥平面PAD ∴CD⊥PD ∴∠PDA是二面角P－CD－B的平面角 在直角△PDA中,∵PA=AD=a ∴∠PDA=45 0 即二面角P－CD－B为45 0 ． (2) 当点E在线段PC上，且满足PE ：EC="2" ：1时，平面EBD垂直于平面ABCD． 理由如下：连AC、BD交于O点，连EO. 由△AOB∽△COD，且CD=2AB ∴CO=2AO ∴PE:EC="AO:CO" =1:2 ∴PA∥EO  ∵PA⊥底面ABCD， ∴EO⊥底面ABCD. 又EO在平面EBD内， ∴平面EBD垂直于平面ABCD   点评：解决该试题的关键熟练掌握几何体的结构特征，进而得到空间中点、线、面的位置关系，结合有关定理进行证明即可，并且也有利于建立空间之间坐标系，利用向量的有关知识解决空间角与空间距离等问题．