Question

如图，点D是等腰三角形ABC的斜边AB上的一个动点（不与A，B重合），过点D作DE⊥AB交边AC于点F，连结BE，∠

如图，点D是等腰三角形ABC的斜边AB上的一个动点（不与A，B重合），过点D作DE⊥AB交边AC于点F，连结BE，∠E=30°，AB=4，设DE的长度为x，四边形DBCF的面积为y．（1）求y与x之间的函数关系式，并指出它的定义域；（2）连结BF，①当△BDF与△EDB相似时，求出x的值；②是否存在x的值，使得△BCF与△EDB相似？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）作CG⊥AB交于G，
∵等腰Rt△ABC，AB=4，
∴AG=BG=CG=2，
∵DE=x，DE⊥AB，∠E=30°，
∴BD=

3

3

x，AD=DF=4-

3

3

x，
∴S_△ADF=

1

2

AD?DF=

1

2

（4-

3

3

x）²，
又∵S_△ABC=

1

2

×4×2=4，
∴四边形DBCF的面积y=S_△ABC-S_△ADF=4-

1

2

（4-

3

3

x）²，
即y=-

1

6

x²+

4 3

3

x-4，（2

3

≤x＜4