Question

如图（1）先把一张矩形纸片ABCD上下对折，设折痕为MN；如图（2）再把点B叠在折痕线上，得到△ABE，过点B

如图（1）先把一张矩形纸片ABCD上下对折，设折痕为MN；如图（2）再把点B叠在折痕线上，得到△ABE，过点B向右折纸片，使D、Q、A三点扔保持在一条直线上，得折痕PQ．（1）求证：△PBE∽△QAB．（2）你认为△PBE和△BAE相似吗？若相似给出证明；若不相似请说明理由．（3）延长EB交AD于点H，请直接写出△AEH的形状为______．

Answer 1

（1）∵∠PBE+∠ABQ=90°，∠PBE+∠PEB=90°，
∴∠ABQ=∠PEB．
在△PBE与△QAB中，
∵∠ABQ=∠PEB，∠BPE=∠AQB=90°，
∴△PBE∽△QAB．

（2）△PBE和△BAE相似．
∵△PBE∽△QAB，
∴

BE

AB

=

PE

BQ

，
∵BQ=PB，
∴

BE

AB

=

PE

PB

，
又∵∠EPB=∠EBA=90°，
∴△PBE∽△BAE．

（3）在△PBE和△QBH中，

∠PBE＝∠QBH BP＝BQ ∠BPE＝∠BQH

，
∴△PBE≌△QBH（ASA），
∴BE=BH，
∵AB⊥EH，
∴AE=AH，∠EAB=∠HAB=60°，
∴△AEH是等边三角形；
故答案为：等边三角形．