Question

如图，直角三角形ABC的顶点坐标A（-1，0），直角顶点B(0，?3)，顶点C在x轴上．（1）求△ABC的外接圆M的方

如图，直角三角形ABC的顶点坐标A（-1，0），直角顶点B(0，?3)，顶点C在x轴上．（1）求△ABC的外接圆M的方程；（2）设直线?：y＝m2+1mx+m2+1m，(m∈R，m≠0)，直线?能否与圆M相交？为什么？若能相交，直线?能否将圆M分割成弧长的比值为12的两段弧？为什么？

Answer 1

（1）K_AB=

? 3 ?0

0?(?1)

=-

3

，∴K_BC=

3

3

，
直线BC的方程是y+

3

=

3

3

x，，当y=0，得x=3，即点C（3，0），
所以，△ABC的外接圆M的圆心M（1，0），半径r=2．
圆M的方程是（x-1）²+y²=4；

（2）直线l的方程可化为y=

m2+1

m

（x+1），令k=

m2+1

m

，
则l的方程为y=k（x+1），则直线l恒过圆M上的定点A（-1，0），
则直线l可能与圆相交．
因为|m|≤

1

2

（m²+1），所以|k|=

m2+1

|m|

≥2，，当且仅当|m|=1时等号成立．
圆心M（1，0）到直线l的距离d=

2|k|

1+k2

．（9分）
由|k|≥2，d=

2|k|

1+k2

=

2

1+ 1 k2

≥

4

5

，即d＞

r

2

．
从而圆M截直线l所得的弦所对的圆心角小于

2π

3

．
所以直线l不能将圆M分割成弧长的比值为

1

2

的两段弧．（12分）