Question

证明，不管b取何值，方程x³-3x+b=0在闭区间-1.1上至多有一个实根

Answer 1

用反证法
假设在[-1,1]上存在两个不同的实数m和n，都是方程x^3-3x+b=0的根
m^3-3m+b=0
n^3-3n+b=0
两式相减，得：(m^3-n^3)-3(m-n)=0
(m-n)(m^2+mn+n^2-3)=0
因为m≠n，所以m^2+mn+n^2=3
(2m+n)^2+3n^2=12
因为(2m+n)^2<9，3n^2<=3，所以(2m+n)^2+3n^2<12
这与(2m+n)^2+3n^2=12矛盾
所以方程x^3-3x+b=0在[-1,1]上至多有一个实根

追问

因为(2m+n)^2<9，3n^2<=3，所以(2m+n)^2+3n^2<12
这几个步骤如何得来

追答

因为-1<=m<=1，且-1<=n<=1
所以-3<=2m+n<=3，但是m和n不能同时为-1或1，所以-3<2m+n<3
即(2m+n)^2<9
因为-1<=n<=1
所以n^2<=1
综上所述，(2m+n)^2+3n^2<12

追问

谢谢！

Answer 2

单调递减所以最多有一个