Question

证明：不管b取何值,方程x三次方-3x+b=0在闭区间-1,1上至多有一个实根

要求：先证存在性，再证唯一性。
谢谢咯

Answer 1

证：
令f(x)=x³-3x+b
f'(x)=3x²-3=3(x²-1)
x∈[-1，1]
x²≤1，x²-1≤0
f'(x)≤0，函数f(x)在区间[-1，1]上单调递减
f(1)·f(-1)=(1-3+b)(-1+3+b)=(b+2)(b-2)
f(x)在区间[-1，1]上单调递减
(b+2)(b-2)<0时，即-2<b<2时，f(1)、f(-1)异号，方程x³-3x+b=0在[-1，1]上有唯一实根。
(b+2)(b-2)=0时，即b=2或b=-2时，f(1)=0或f(-1)=0，方程x³-3x+b=0在[-1，1]上有唯一实根。
(b+2)(b-2)>0时，即b>2或b<-2时，f(1)、f(-1)均不为0且同号，方程x³-3x+b=0在[-1，1]上无实根。
综上，得：方程x³-3x+b=0在[-1，1]上至多有一个实根。
且：
-2≤b≤2时，方程在[-1，1]上有唯一实根。
b<-2或b>2时，方程在[-1，1]上无实根。

Answer 2

这一题能不能用柯西中值定理来解啊？