Question

用19这9个数排成一个最小的能被11整除的九位数这个九位数是多少

Answer 1

九位数abcdefghm, 它被11整除的充分必要条件是(m+g+e+c+a)－(h+f+b+d)是11的倍数。
设{a，b，c，d，e，f, g, h, m}={1,2,3,4,5,6,7,8,9}，那么：a+b+c+d+e+f+g+h+m=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45。
若(m+g+e+c+a) - (h+f+b+d)是11的倍数，由-15≤(m+g+e+c+a) - (h+f+b+d)≤25知，(m+g+e+c+a)-(h+f+b+d)=－11、0、11或22。
（一）、若(m+g+e+c+a)-(h+f+b+d)=－11，那么(m+g+e+c+a)=(h+f+b+d)-11，由a+b+c+d+e+f+g+h+m=45就有，2×(h+f+b+d)-11=45，h+f+b+d=28，28=9+8+7+4=9+8+6+5符合条件。所以{h，f，b，d}={4,7,8,9}，或{h，f，b，d}={5,6,8,9}。
当{h，f，b，d}={4,7,8,9}时有5！×4！=2880个数符合条件，例如142738596；
当{h，f，b，d}={5,6,8,9}时有5！×4！=2880个数符合条件，例如152638497。
（二）、若(m+g+e+c+a)-(h+f+b+d)=0，那么(m+g+e+c+a)=(h+f+b+d)，由a+b+c+d+e+f+g+h+m=45就有，2×(h+f+b+d)=45，矛盾！无解。
（三）、若(m+g+e+c+a)-(h+f+b+d)=11，那么(m+g+e+c+a)=(h+f+b+d)+11，由a+b+c+d+e+f+g+h+m=45就有，2×(h+f+b+d)+11=45，h+f+b+d=17，
17=9+5+3+1=9+4+3+2=8+6+3+1=8+5+3+2=7+6+3+2
=7+6+4+1=7+5+4+2=6+5+4+3，由（一）可知，可得到2880×8个符合条件的9位数。
（四）若(m+g+e+c+a)-(h+f+b+d)=22，那么(m+g+e+c+a)=(h+f+b+d)+22，由a+b+c+d+e+f+g+h+m=45就有，2×(h+f+b+d)+22=45，2×(h+f+b+d)=23，矛盾！无解。
综上所述，可以找到2880×10=28800个符合条件的9位数。